Exercice 4 ) Session normale 2020

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On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= -x+5/2 -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4)`

1) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= -infty ` et `lim_{ x to -infty} f(x)= +infty `

2) a) Montrer que la droite ` Delta : y = -x+5/2` est une asymptote à `C_f` au voisinage de `-infty `

b) Résoudre dans `R` l'équation `e^(x-2)-4 = 0 ` , puis montrer que que `C_f` est au dessus de `Delta ` sur `] -infty , 2+ln4] `

et que `C_f` est en dessous de `Delta` sur `[2+ln4 ,+infty[`

3) Montrer que `lim_{ x to +infty } {f(x)}/x = -infty ` , puis interpréter le résultat graphiquement

4) a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2`

b) Dresser le tableau des variations

5) Calculer `f''(x)` , puis montrer que `A(2,2)` est un point d'inflexion de `C_f`

6) Montrer que l'équation `f(x) = 0 ` admet une solution unique `alpha` et que ` 2+ln3 < alpha < 2+ln4 `

7) Tracer la courbe `C_f` et la droite `Delta`

8) a) Montrer que `f` admet une fonction réciproque définie sur `R`

b) Tracer la courbe `C_{f^(-1)} `

c) Calculer `f^(-1)'(2-ln3) ` Remarquer que `f^(-1) (2-ln3)= 2+ln3`

1) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= -infty ` et `lim_{ x to -infty} f(x)= +infty `

Calculons `lim_{ x to +infty} f(x) `
on a `lim_{ x to +infty} f(x)= lim_{ x to +infty} [ -x+5/2 -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4)] `

` = lim_{ x to +infty} -x ( 1+5/{2x} +1/2e^x/x xx e^(-2) xx (e^(x-2) -4)) `

on a `lim_{ x to +infty } e^x/x =+infty `

et `lim_{ x to +infty } e^(x-2)= lim_{ x to +infty } e^(-2)e^x = +infty `

et `lim_{ x to +infty } 5/{2x} = 0 `

`=> lim_{ x to +infty} [1+5/{2x} +1/2e^x/x xx e^(-2) xx (e^(x-2) -4)] = +infty `

comme `lim_{ x to +infty} -x = -infty `

` => lim_{ x to +infty} -x ( 1+5/{2x} +1/2e^x/x xx e^(-2) xx (e^(x-2) -4)) = -infty `


`=> lim_{ x to +infty } f(x)= -infty `


Calculons `lim_{ x to - infty} f(x) `

on a `lim_{ x to -infty} f(x)= lim_{ x to -infty} [ -x+5/2 -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4) ] `

on a `lim_{ x to -infty } e^(x -2) = lim_{ x to -infty } e^(-2)e^(x)= 0 `

`=> lim_{ x to -infty} (e^(x-2) -4) = -4 `

`=> lim_{ x to -infty} -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4) = 0 `

on a `lim_{ x to -infty } [ -x +5/2] = lim_{ x to -infty} -x = +infty `

`=> lim_{ x to -infty} [ -x+5/2 -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4) ] = +infty `

`=> lim_{ x to -infty } f(x)= +infty `

2) Montrer que la droite d'équation ` y = -x+5/2` est une asymptote oblique de `C_f` au voisinage de `-infty`

on a `lim_{ x to -infty } [ f(x) -( -x+5/2) ] = lim_{ x to -infty } [- 1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4)]`

on a `lim_{ x to -infty } e^(x-2)= lim_{ x to -infty} e^(-2)e^x = 0 `

`=> lim_{ x to -infty} [ e^(x-2) -4]= -4 `

et par suite ` lim_{ x to -infty } [ - 1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4) ] = 0 `

Ainsi `=> lim_{ x to -infty }[ f(x) -( -x+5/2) ] = 0 `

C'est à dire : la droite d'équation ` y = -x+5/2` est une asymptote oblique de `C_f` au voisinage de `-infty`

b) Résoudre dans `R` l'équation `e^(x-2)-4 = 0 ` , puis montrer que que `C_f` est au dessus de `Delta ` sur `] -infty , 2+ln4] ` et que `C_f` est en dessous de `Delta` sur `[2+ln4 ,+infty[`

on a `e^(x-2) -4 = 0 <=> e^(x-2)= 4 `

`<=> x-2 =ln4 `

`<=> x = 2+ln4 `

alors l'ensemble , `S` , des solutions de l'équation est `S= { 2+ln4} `

Etudions le signe de ` [ f(x) - (-x+5/2)]`

on a ` f(x) -(-x+5/2)= -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4) `

Comme ` forall x in R : e^(x-2) > 0 `

alors ` f(x) -(-x+5/2) >= 0 `

`<=> -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4) >= 0 `

`<=> -(e(x-2) -4 ) >= 0 `

`<=> e(x-2) -4 <= 0 `

`<=> e^(x-2) <= 4 `

`<=> x-2 <= ln4 `

`<=> x <= 2+ ln4 `

` <=> x in ] -infty ,2+ln4] `

alors `f(x) -(-x+5/2) >= 0 <=> x in ]-infty , 2+ln4] ` donc `C_f` est au dessus de `Delta` sur ` ]-infty , 2+ln4]`

et `f(x) -(-x+5/2) <= 0 <=> x in [ 2+ln4 ,+infty[ ` donc `C_f` est en dessous de `Delta` sur `[2+ln4 ,+infty[`

3) Montrer que `lim_{ x to +infty } {f(x)}/x = -infty ` , puis interpréter le résultat graphiquement

on a ` lim_{ x to +infty } {f(x)}/x = lim_{ x to +infty } [-1+5/{2x} -1/2e^x/xxxe^(-2)(e^(x-2) -4)] `

on a `lim_{ x to +infty} [-1+5/{2x} ] = 0 `

et `lim_{ x to +infty} e^x/x = +infty ` `=> lim_{ x to +infty} [-1/2e^x/xxxe^(-2) ] = -infty `

et `lim_{ x to +infty } e^(x-2)= lim_{ x to +infty } e^xxxe^(-2) = +infty `

alors `lim_{ x to +infty} [e^(x-2) -4 ] = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} [-1/2e^x/xxxe^(-2)(e^(x-2) -4) ] = -infty `

`=> lim_{ x to +infty }[ -1+5/{2x} -1/2e^x/xxxe^(-2)(e^(x-2) -4) ] = -infty `

et par suite :

`lim_{ x to +infty } {f(x)}/x = -infty `

alors `C_f` admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées

4 a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2 `

on a `f(x)= -x+5/2 -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4)`

et ` f` est dérivable sur `R` ( somme et produit des fonctions dérivables sur `R`)

et pour tout ` x in R ` on a

` f'(x)= -1 -1/2(x-2)'e^(x-2)( e^(x-2)-4) -1/2e^(x-2) ( e^(x-2) -4)' `

`= -1 -1/2e^(x-2)( e^(x-2)-4) -1/2e^(x-2) ((x-2)' e^(x-2)) `

`= -1 -1/2e^(x-2)( e^(x-2)-4) -1/2e^(x-2) ( e^(x-2)) `

`= - (1 +1/2e^(x-2) e^(x-2) -2e^(x-2) +1/2e^(x-2) ( e^(x-2)) )`

`= - (1 +(e^(x-2))^2 -2e^(x-2) )`

`= f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2 `

alors : ` forall x in R : f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2 `

4 b) Tableau des variations

On a ` forall x in R : f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2 `

alors `f'(x) <= 0 ` pour tout ` x in R `

5) Calculer `f''(x)` , puis montrer que `A(2,2)` est un point d'inflexion de `C_f`

on a ` forall x in R : f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2`

alors `f''(x)= -2(e^(x-2) -1)'(e^(x-2) -1) `

` = -2 ((x-2)'e^(x-2)(e^(x-2) -1) `

` = -2e^(x-2)(e^(x-2) -1) `

alors

` forall x in R : f''(x)= -2e^(x-2)(e^(x-2) -1) `

Montrons que `f'' ` s'annule en `x_0 = 2 `

on a `f''(2) = -2e^(2-2)(e^(2-2) -1)= -2(1-1)= 0 `

`=> f''` s'annule en ` x= 2 `

Montrons que `f'' ` change de signe en `x_0 = 2 `

on a `f''(x) >= 0 <=> -2e^(x-2)(e^(x-2) -1) >= 0 `

`<=> e^(x-2)(e^(x-2) -1 ) <= 0 `

`<=> e^(x-2) -1 <= 0 `

`<=> x <= 2 `

alors ` f''(x) >= 0 <=> x <= 2 ` et `f''(x) <= 0 <=> x >= 2 `

alors `=> f''` change de signe en ` x= 2 `


alors on déduit que :

` f''` s'annule et change de signe au point d'abscisse `x_0= 2 `

alors `A(2,f(2))` est un point d'inflexion

Or `f(2)= -2 +5/2-1/2(1-4) = -2+5/2+3/2 = 4-2 = 2 `

donc `A(2,2)` est un point d'inflexion de `C_f`

6) Montrer que l'équation `f(x) = 0 ` admet une solution unique `alpha` et que ` 2+ln3 < alpha < 2+ln4 `

On a `x-> (-x+5/2)` , `x->-1/2e^(x-2)` , `x-> e^(x-2) -4 `


Sont continues

alors `f` est continue sur `R `

on a pour tout ` x in R ` : `f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2 `

alors `f'(x) <= 0 ` comme `f'` s'annule en un seul point ( ` x= 2 ` )

donc la fonction `f` est strictement décroissante sur `R`

on a ` f(R)= ]-infty, +infty[ `

comme `0 in f(R) ` alors `exists! alpha in R : f(alpha)= 0 `


on a `f (2+ln3)= -2 -ln3 +5/2 -1/2e^(ln3)(e^(ln3) -4) ` `= -2-ln(3) + 5/2 + 3/2 = 2-ln(3) `

on a `ln(3)= 1,1` alors `f(2+ln3) > 0 `

on `f (2+ln4)= -2 -ln4 +5/2 -1/2e^(ln4)(e^(ln4) -4) ` `= 1/2-ln(3) `

alors `f(2+ln4) < 0 `

`=> f(2+ln3) > 0 text{ et } f(2+ln4) < 0 `


`=> f(2+ln4) < 0 < f( 2+ln3) `

`=> f(2+ln4) < f(alpha) < f( 2+ln3) `


`=> 2+ln3 < alpha < 2 +ln4 ` car `f` est strictement décroissante sur `R`

Ainsi

l'équation `f(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha ` et `2+ln3 < alpha < 2 +ln4 `

7) la courbe `C_f`

8) a) Montrer que `f` admet une fonction réciproque définie sur `R`

on a `f` est continue sur `R` ( somme et produit des fonctions continues)

on a ` forall x in R -{2} : f'(x) < 0 ` alors `f` est strictement décroissante sur `R`

alors selon le théorème de la fonction réciproque `f` admet une fonction réciproque définie sur `f(R)= ]lim_{ x to -infty } f(x) , lim_{ x to +infty} f(x)[ `

`] -infty , +infty[ `

c) Calculer `(f^(-1))'(2-ln3) ` Remarquer que `f^(-1) (2-ln3)= 2+ln3`

on a `f^(-1) (2-ln3)= 2+ln3 <=> 2-ln3 = f(2+ln3) `

Comme `f'(2+ln3)= -(e^(ln3) -1)^2 = -(2)^2= -4 ne 0 `


alors `f^(-1)` est dérivable en `x= 2-ln3` et `(f^(-1))'(2-ln3) = 1/{f '(2+ln3)} = -1/4 `


`=> (f^(-1))'(2-ln3) = -1/4 `